1.1 Relaciones.
Si es una contacto, usaremos la notacion , que se lee “ esta relacionado por con “, o simplemente “ esta relacionado con “, para indicar el hecho sobre que . Si diremos que “ nunca esta relacionado por con ” y usaremos la notacion . Igualmente, el comun se dira comun sobre partida, y conjunto sobre venida (o itinerario) de .
Sea una trato. Definimos su dominio por , desplazandolo hacia el pelo su apariencia por . El conjunto suele llamarse grafico de la conexion y no ha transpirado se anota . Seria directo que , sin embargo en general nunca es cierta la igualdad igual que conjuntos.
Toda funcion induce an una comunicacion. En caso de que resulta una accion, la contacto asociada seria , en donde el conjunto sobre pares ordenados esta cubo por
Claramente se cumple que , e
Igualdad sobre relaciones sobre la definicion sobre conexion como la terna, seria directo que dos relaciones y son iguales ssi . A su ocasii?n, seria tambien Naturalmente que si , entonces sobre aca que se cumple
1.2 Relaciones en donde .
Modelo fundamental
Estudiemos las 4 caracteristicas anteriores de la comunicacion en igual que
en donde seria un natural fijo. Esta trato se llama de congruencia modulo asi como si decimos que “ seria congruente con modulo “, o que “ es lo mismo a modulo “. Son usuales las notaciones (mod ) o . Simetria Sean tales que . Hay que tratar que . Conocemos que . Sea semejante que . Despejando se dispone de que , Es decir hemos encontrado un sereno igual que lo que prueba que . Refleja Sea . Debemos examinar que . En otras palabras hay que dar con igual que . Basta coger , con lo cual asi como se concluye que . Transitividad Sean tales que . Existen que tratar que . Se goza de de un exacto , desplazandolo hacia el pelo Con El Fin De un exacto . Posteriormente, despejando, se obtiene . Hemos visto un sereno tal que , despues . Antisimetria No lo seria En Caso De Que ya que, como podria ser En Caso De Que , se tiene que desplazandolo hacia el pelo aparte pero . Si , la trato seria la igualdad en , por lo que no seria sorprendente que sea tambien antisimetrica. Aparte esta comunicacion cumple las siguientes prestaciones (a) . (b) . En objetivo, la hipotesis quiere decir que , Con El Fin De ciertos . (a) Sumando estas ecuaciones, obtenemos , de en donde sale que . (b) Multiplicando las mismas ecuaciones, obtenemos , de a donde sale que .
Ej La trato de divisibilidad en seria un disciplina parcial asi como la comunicacion es un orden total.
1.3 Relaciones senior match sobre equivalencia.
Recordemos que la relacion en seria sobre equivalencia ssi seria refleja, simetrica asi como transitiva.
Ej Considere la conexion sobre congruencia modulo 2 en ( ). En esta relacion seria el comun sobre las pares, seria el grupo sobre los enteros impares, son los impares, . En este ej Hay solo 2 tipos sobre equivalencia distintas y no ha transpirado . Observemos que . Tambien . Propiedades
Las 2 propiedades anteriores Posibilitan precisar una particion de .
Esto es, una clan sobre subconjuntos sobre , dos a dos disjuntos, cuya liga es . Sobre modo mas precisa, hay un conjunto sobre subconjuntos nunca vacios sobre , (que sera la particion sobre ), semejante que si por lo tanto (2 a dos disjuntos) desplazandolo hacia el pelo
Esta ultima union se entiende como sigue
La particion que nos interesa edificar es la formada por las tipos de equivalencia sobre , en otras palabras,
Este combinado se llama comun cociente sobre , asi como se puede anotar Asimismo igual que .
Prototipo fundamental
Para , hallar el comun cociente de por la conexion sobre equivalencia , que denotamos por (los “enteros modulo p”). Denotamos a la tipo sobre equivalencia de como . Veamos principal un par de casos triviales
En caso de que , sabemos que es la igualdad en , y no ha transpirado entonces Con El Fin De cada . Seguidamente . Si , por lo tanto es directo que , por lo que Tenemos una sola clase de equivalencia para todos los enteros , desplazandolo hacia el pelo (un total con un unico aspecto).
Actualmente supondremos que . Esta es la restriccion que comunmente se impone cuando se utilizan las congruencias modulo en la practica. Haremos utilizo sobre la division sobre numeros enteros, que se puede enunciar igual que sigue En Caso De Que y no ha transpirado , entonces existe una sola pareja de enteros , llamados respectivamente cociente asi como resto de la division de por , tales que , y no ha transpirado aparte .
Si seria un impavido cualquier, dividiendolo por obtenemos , con . No obstante esta ecuacion dice que , es decir, que . Sobre aqui que las tipos de equivalencia de son solo . Igualmente estas tipos son distintas entre si, Ya que si , de , entonces . Sin embargo igual que Asimismo , por lo tanto la unicidad sobre la division sobre por entrega .
Concluimos entonces que , y dispone de exactamente componentes.
Estructuras Algebraicas
1.4 Leyes sobre composicion interna
Con el fin de simplificar la notacion, muchas veces se eliminan tambien las parentesis de la notacion de tipos de equivalencia en , escribiendo . Suele igualmente denotarse el + de igual que y no ha transpirado el de igual que . Con estas convenciones, el prototipo 1 es simplemente la suma asi como el producto en , asi como el exponente 2 corresponde a la suma en .
1.5 Propiedades basicas de las l.c.i
Propiedad El neutro, cuando existe, es unico (y tenemos por lo tanto derecho a hablar de el neutral).
En fin, supongamos que existen neutros y no ha transpirado . Posteriormente .
Asociatividad Decimos que la l.c.i. en seria asociativa ssi
Elementos inversos En Caso De Que hay neutro , decimos que posee a como inverso, o que seria un inverso para ssi
En general, un inverso para no es unico. Cuando sea unico lo denotaremos . Una requisito de unicidad es la siguiente,
Hacienda Si dispone de neutro desplazandolo hacia el pelo seria asociativa por lo tanto los inversos son unicos.
En proposito, sean tales que y . Despues operando por la primera igualdad por la izquierda se obtiene . Igual que la ley seria asociativa por lo tanto , de lo que deducimos que .
Conmutatividad Decimos que la l.c.i. en seria conmutativa ssi
Supongamos que resulta una estructura algebraica asociativa y no ha transpirado con neutro
